Aide aux devoirs

1er exercice :

f est la fonction définie sur [-3 ; 3] par :

f(x)=x²+1

a) Calculer f(-2) et f(1). Pourquoi peut-on affirmer que f n'est pas croissante en [-3 ; 3] ?

Celle-ci est faite.

b) Montrer que le minimum de la fonction est atteint pour x0=0.

Note : Calculer f(0) et montrer que f(x)-f(0) est positif pour tout x de [-3 ; 3].

c) Montrer que le maximum de f est 10. Pour quelle(s) valeur(s) est-il atteint ?

d) Contrôler les résultats en programmant la fonction sur votre calculatrice. (wtf on a vu un tout petit peu les algorithmes, j'y arriverai jamais --')

2ème exercice :

f est la fonction définie sur [0 ; +infini[ par :

f(x)=x²+x.

1. a) Utiliser la calculatrice graphique pour conjecturer le sens de variation de f.

b) Pourquoi l'observation de l'écran de la calculatrice ne suffit pas pour être certain du sens de variation sur [0 ; +infini[ ?

2. u et v désignent deux réels de [0 ; +infini[.

a) Quel est le signe de chacun des réels u et v ?

Note : Pour comparer les réels f(u) et f(v), on étudie le signe de leur différence f(u)-f(v). Penser ici aux parenthèses :

f(u)-f(v)=u²+u-(v²+v)

Utiliser ensuite une factorisation de u²-v², puis un facteur commun apparaît.

b) Vérifier que f(u)-f(v)=(u-v)(u+v+1).

c) Déduire de a), le signe de u+v+1.

d) On suppose que u <= v. Que peut-on dire alors du signe f(u)-f(v) ?

e) Conclure le sens de variation de f.